حاصلضرب اعداد به روش ترسیمی

حاصلضرب اعداد به روش ترسیمی

درود فراوان به تمام دوستان ریاضی و ریاضی دوستان .

مقدمه

  فرض کنیم می خواهیم حاصلضرب دو عدد 21  و 32 و همچنین اعداد 23 و 121 را محاسبه کنیم . با توجه به آموخته هایی که از دوران ابتدایی برای عمل ضرب یاد گرفته ایم به راحتی می توانیم حاصلضربها را بدست آوریم که به ترتیب به جوابهای 672 و 2783 می رسیم. اما در اینجا تصمیم داریم برای رسیدن به این جوابها از روشی دیگر استفاده کنیم که با استفاده از رسم خطوط موازی و متقاطع در چارچوب قوانین این روش، به جواب حاصلضرب دست یابیم.

ضرب اعداد به روش ترسیمی

برای محاسبه ضرب اعداد21 و32 به روش مورد نظر بدین ترتیب عمل می کنیم. عدد 21 را در   نظر گرفته و با توجه به اینکه دهگان آن  2 ویکان آن 1می باشد ،ابتدا دو خط افقی مطابق شکل (1) رسم می کنیم.

و سپس ، با توجه به آنکه رقم یکان عدد 1 می باشد ، زیر دو خط موازی که در شکل (1) نشان داده ایم ، خطی موازی با آن دو خط با کمی فاصله مطابق شکل(2) رسم می کنیم

                

حال ، برای عدد 32 نیز بطورمشابه عمل می کنیم با این تفاوت که به جای خطوط افقی خطوط عمودی رسم می کنیم . (از چپ به راست) .مطابق شکل (3(

حال برای محاسبه حاصلضرب چنین عمل میکنیم . همانطور که در شکل (3) مشاهده میکنید ، 4 ناحیه وجود دارد که خطوط همدیگر را قطع نموده اند و نقاط برخورد خطوط افقی و قائم در هر ناحیه مد نظر ماست که برای راحتی و سهولت کار ناحیه ها را نامگذاری می کنیم. همانند شکل (4)

همانطور که مشاهده می کنید تعداد نقاط ناحیه A دو نقطه ، ناحیه B چهار نقطه ، C سه نقطه و D شش نقطه می باشد .

برای محاسبه حاصلضرب 21 در 32 ، با توجه به ناحیه های مشخص شده مراحل زیر را اجرا می کنیم :

1)      تعداد نقاط ناحیه A که به عنوان یکی های حاصلضرب می باشد یعنی در حاصلضرب                                                                                                                                                                                                                                                                                                                21 در 32، رقم یکان حاصلضرب عدد 2 (تعداد نقاط تقاطع) می باشد.

2)     تعداد نقاط نواحی B و C را جمع کرده و به عنوان ده تایی های حاصلضرب در نظر می گیریم یعنی عدد 7.

3)    و در مرحله آخر ، تعداد نقاط ناحیه D را به عنوان صدتایی های حاصلضرب در نظر می گیریم که در اینجا عدد 6 می باشد.

و در اینجا ، با کنار هم گذاشتن اعداد بدست آمده، به عدد 672 که همان جواب مورد    نظر ماست می رسیم.

با توجه به مطالب گفته شده تعداد نقاط روی هر خط مورب (شکل 5) به ترتیب از پایین   به بالا  نمایانگر یکی ها،  ده تایی ها و صدتایی های حاصلضرب می باشند.

روش فوق را برای هر دو عدد طبیعی می توان بکار برد.برای روشن شدن مطلب مثالی دیگر عنوان می کنیم فرض کنید می خواهیم حاصلضرب عدد 321 در 221 را محاسبه کنیم . مانند روشی که گفته شد برای این دو  عدد نمودار را رسم کرده و نامگذاری می کنیم . شکل (6).

اگر به روش معمولی این حاصلضرب را انجام دهیم به جواب 70941 می رسیم .حال با استفاده روش ترسیمی می خواهیم حاصلضرب را محاسبه کنیم. برای محاسبه مانند مراحل گذشته عمل می کنیم .با این تفاوت که چون ناحیه های بیشتری داریم قاعدتا مراحل بیشتری را نیز خواهیم داشت ، ولی در حالت کلی با روش قبل هیچ تفاوتی ندارد .
مراحل زیر را طی می کنیم :

1) تعداد نقاط تلاقی ناحیه A را به عنوان یکی های حاصلضرب در نظر می گیریم یعنی
    عدد 1.
2) مجموع تعداد نقاط تلاقی نواحی B ، C یعنی عدد 4 به عنوان ده تایی های
    حاصلضرب.
3) مجموع تعداد نقاط تلاقی نواحی F ،E ،D که عدد 9 می باشد به عنوان صدتایی های
    حاصلضرب.  
4) مجموع تعداد نقاط تلاقی نواحی H ،G برابر 10 است که نمایانگر هزارتایی ها می باشد
     و چون 10 ، هزارتایی می شود پس رقم هزارتایی ها صفر می شود و یک واحد به ده
    هزار تایی ها اضافه می شود.  
5) مجموع تعداد  نقاط تلاقی ناحیه I عدد 6 می باشد یعنی با اضافه کردن یک واحد ،  6
      ده هزارتایی خواهیم داشت که با یک ده هزارتایی از مرحله قبل می شود 7 تا ده
      هزارتایی.

در نتیجه حاصلضرب عدد 70941 می باشد و این همان چیزیست که انتظار داشتیم .
حال ، سوالی که مطرح می شود این است که " اگر بعضی از ارقام اعداد حاصلضرب صفر باشند چگونه باید عمل کرد ؟"
جواب : در این حالت عدد صفر را در حین ترسیم شکل به صورت یک خط فرضی (نقطه چین) در نظر می گیریم ونقاط برخورد این خطوط را در محاسبات به حساب نمی آوریم. سپس مانند آنچه گفته شد عمل می کنیم .مطلب را با یک مثال توضیح می دهیم .
فرض کنید می خواهیم حاصلضرب دو عدد 201 و 22 را محاسبه کنیم .برای محاسبه این حاصلضرب مانند روشهای قبل نمودار را رسم کرده و نامگذاری می کنیم ، با این تفاوت که برای رقم صفر، خط فرضی نقطه چین را در نظر می گیریم .به شکل (7) توجه نمایید.

حال مراحل زیر را همانند قبل انجام می دهیم .

1)      مجموع تعداد نقاط تلاقی ناحیه A یعنی عدد 2 بعنوان یکی های حاصلضرب

2)     مجموع تعداد نقاط تلاقی نواحی B ،C می شود ده تایی های حاصلضرب که برابر است با 2.(نقاط برخورد ناحیه B به حساب نمی آیند)

3)    مجموع تعداد نقاط تلاقی نواحی E ،D که برابر است با عدد 4 به عنوان صدتایی ها (همانند مرحله 2)

4)    مجموع تعداد نقاط تلاقی ناحیه F که برابر است با عدد 4 که هزارتایی ها می باشد.

و در نتیجه حاصلضرب دو عدد 102 و 22 برابر است با 4422 . که اگر به روش معمولی محاسبه کنیم به همین جواب دست خواهیم یافت

اثبات

فرض می کنیم A و B دو عدد طبیعی و

به طوریکه برای می باشد . ازضرب دو عدد A و B خواهیم داشت

که برابر است با :

که اگر بخواهیم رابطه (4) را بر روی نمودار نشان دهیم به صورت زیر می باشد .شکل (8)

همانطور که ملاحظه می کنید تمام نقاط شکل (8 ) را به راحتی می توان از رابطه (4) بدست آورد .   لازم به توضیح می باشد ، در عمل ضرب به روش ترسیمی نقطه a₀b₀ در شکل (8) به صورت زیر می باشد. میتوان در دیگر نقاط ، مانند شکل (9) تعمیم داد .

در اینجا اثبات کامل است .

نتیجه گیری

نکته قابل توجهی که در پایان به عنوان حسن ختام و نتیجه گیری از این مطلب می توان گرفت این است که محاسبه حاصلضرب به روش ترسیمی علاوه بر جنبه یادگیری و آموزشی جنبه سرگرمی و خلاقیت نیز دارد که این خود در زمینه یادگیری و فهم مطلب می تواند مفید و قابل توجه باشد.